Prérequis
ValidationCC avec ET
Enseignant
Horaires hebdomadaires 2 h CM , 3 h TD

Syllabus

Il s'agit d'un cours d'introduction à la théorie des fonctions d'une variable complexe. La dérivabilité de ces fonctions (au sens complexe) entraine des propriétés d'analyse remarquables.

Sommaire

  • fonctions holomorphes, équations de Cauchy-Riemann.
  • rappels sur les séries entières, fonctions analytiques, principe des zéros isolés ;
  • fonction exponentielle, fonction Logarithme ;
  • intégrale le long d’un chemin, primitive locale d’une fonction holomorphe, formule de Cauchy pour un cercle ;
  • analycité d’une fonction holomorphe,
  • formule de la moyenne, principe du maximum, théorème de Liouville; démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss ;
  • invariance de l’intégrale d’une fonction holomorphe par homotopie de lacets
  • indice d’un point par rapport à un lacet
  • formule de Cauchy ;
  • fonction méromorphe, pôles ;
  • théorème des résidus et applications (dont le théorème de Rouché).

Bibliographie

Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Complex analysis, volume 2 of Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.